Introducción al análisis multivariado
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Con el análisis multivariado o multivariante de datos se busca:

**1. Describir**

**2. Resumir**

**3. Agrupar**

**4. Clasificar**

**5. Relacionar**

**Datos univariantes:**

Una sola variable aleatoria con :math:`n` observaciones.

**Datos multivariantes:**

:math:`p > 1` variables aleatorias con :math:`n` observaciones.

**Representación matricial de datos multivariantes:**

Las variables se ubican en las columnas y las filas son las
observaciones. El total de filas, :math:`n`, es el tamaño de la muestra,
:math:`n` elementos muestrales.

$ :raw-latex:`\left`(

.. raw:: latex

   \begin{array}{ll}
   x_{11} & x_{12} & x_{13} & ... & x_{1p} \\
   x_{21} & x_{22} & x_{23} & ... & x_{2p} \\
   .      &   .    &   .    &  .  &   .     \\
   .      &   .    &   .    &  .  &   .     \\
   x_{n1} & x_{n2} & x_{n3} & ... & x_{np} \\
   \end{array}

:raw-latex:`\right`) $

**Representación vectorial de datos multivariantes:**

La anterior matriz se puede representar de forma vectorial en función de
las columnas así:

.. math::  X = [X_1, X_2, X_3, ..., X_p] 

Donde :math:`X_j \in \mathbb R^n, \forall j = 1,2,3,...,p`

Las :math:`p` variables aleatorias forman una variable aleatoria
multivariante :math:`X`.

**Tipos de variables:**

**1. Cuantitativas:** datos numéricos.

-  **Continuas:** valores reales dentro de un intervalo. Ejemplo, precio
   de las acciones.

-  **Discretas:** valores numerables o contables. Ejemplo, estrato.

**2. Cualitativas:** atributos o categorías.

En el análisis exploratorio de datos multivariados se visualiza las
variables cuantitativas y las variables cualitativas aportan información
adicional como clasificar los datos por atributos o categorías.

**Análisis exploratorio de datos multivariados:**

-  **Boxplot:** se realiza para una variable y tiene algunos
   estadísticos como mediana y cuartiles. Son útiles para analizar la
   localización de la variable, desviación, asimetría y datos atípicos.

-  **Histograma:** se realiza para una variable y es una representación
   gráfica de las frecuencias. Permiten identificar la distribución de
   la variable, asimetría, localización, dispersión y datos atípicos.

-  **Densidad Kernel:** es la función de densidad de la variable que se
   dibuja encima del histograma, la función se llama Kernel. Tiene el
   mismo análisis que los histogramas. Se puede hacer para una variable
   o dos variables separando los datos por grupos (variable categórica).
   La función más usada es la Gaussiana.

-  **Dispersión (scatterplot):** para análisis entre dos variables. Se
   usan visualizar la distribución bivariada, determinar la relación
   entre pares de variables. También se puede hacer en 3D con una
   tercera variable.

-  **Matriz de correlaciones:** es una tabla numérica donde muestra el
   coeficiente de correlación entre pares de variables. Se mide el grado
   de relación lineal entre un par de variables aleatorias.

-  **Radar:** para tres o más variables cuantitativas. Los ejes están
   ubicados radialmente. Tiene otros nombres como gráfico de araña
   (spider), de estrellas o polar. Permiten observar las diferencias
   entre las magnitudes de cada variable.

**Medidas descriptivas:**

Para analizar cada variable por separado se puede calcular las
siguientes medidas estadísticas.

-  Media.

-  Varianza.

-  Desviación estándar.

Para el análisis de la relación entre variables calculamos:

-  Covarianzas: matriz de varianzas-covarianzas.

-  Coeficientes de correlación: matriz de correlaciones.

.. code:: r

    datos = read.csv("EAM_2019.csv", sep = ";", dec = ",", header = T)
    print(head(datos))


.. parsed-literal::

      ï..ciiu personal_mujer personal_hombre gasto_personal gasto_financiero
    1    1051             36             140        9352991          3240559
    2    1030             40             176        7334998          1468298
    3    3290             15             172        6668544          1547666
    4    3091             88             373       22088759         35203208
    5    3290             18              53        5219070          2861773
    6    3290             18              53        5219070          2861773
      costos_gastos_produccion gastos_adm_ventas inversion_AF    ventas
    1                  6846304          22920307      4979745 192609248
    2                  5941761          12310286      5615593 115741258
    3                  6996020           2564695       773444  44580029
    4                  4175751         171278876     10501572 162509864
    5                 11037978          13691919      6423171  87324374
    6                 11037978          13691919      6423171  87324374
    

.. code:: r

    colnames(datos)[1] = "ciiu"
    names(datos)



.. raw:: html

    <style>
    .list-inline {list-style: none; margin:0; padding: 0}
    .list-inline>li {display: inline-block}
    .list-inline>li:not(:last-child)::after {content: "\00b7"; padding: 0 .5ex}
    </style>
    <ol class=list-inline><li>'ciiu'</li><li>'personal_mujer'</li><li>'personal_hombre'</li><li>'gasto_personal'</li><li>'gasto_financiero'</li><li>'costos_gastos_produccion'</li><li>'gastos_adm_ventas'</li><li>'inversion_AF'</li><li>'ventas'</li></ol>
    


.. code:: r

    datos[,1] = as.character(datos[,1])
    str(datos)


.. parsed-literal::

    'data.frame':	420 obs. of  9 variables:
     $ ciiu                    : chr  "1051" "1030" "3290" "3091" ...
     $ personal_mujer          : int  36 40 15 88 18 18 43 23 108 197 ...
     $ personal_hombre         : int  140 176 172 373 53 53 215 97 149 70 ...
     $ gasto_personal          : int  9352991 7334998 6668544 22088759 5219070 5219070 9386665 4756263 11081213 8575341 ...
     $ gasto_financiero        : int  3240559 1468298 1547666 35203208 2861773 2861773 647945 630568 20390274 542136 ...
     $ costos_gastos_produccion: int  6846304 5941761 6996020 4175751 11037978 11037978 5445839 1622747 1843527 4002790 ...
     $ gastos_adm_ventas       : num  2.29e+07 1.23e+07 2.56e+06 1.71e+08 1.37e+07 ...
     $ inversion_AF            : int  4979745 5615593 773444 10501572 6423171 6423171 364272 265025 50853587 312822 ...
     $ ventas                  : num  1.93e+08 1.16e+08 4.46e+07 1.63e+08 8.73e+07 ...
    

**Código en R:**

.. code:: r

    library(ggplot2)

Boxplot:
~~~~~~~~

Se crea el Boxplot para cada variable cuantitativa.

La primera columna de los datos no es cuantitativa, es una variable
cualitativa con los códigos CIIU de la DIAN.

.. code:: r

    names(datos)



.. raw:: html

    <style>
    .list-inline {list-style: none; margin:0; padding: 0}
    .list-inline>li {display: inline-block}
    .list-inline>li:not(:last-child)::after {content: "\00b7"; padding: 0 .5ex}
    </style>
    <ol class=list-inline><li>'ciiu'</li><li>'personal_mujer'</li><li>'personal_hombre'</li><li>'gasto_personal'</li><li>'gasto_financiero'</li><li>'costos_gastos_produccion'</li><li>'gastos_adm_ventas'</li><li>'inversion_AF'</li><li>'ventas'</li></ol>
    


Las nueve variables se graficarán dentro de un ciclo ``for`` empezando
en ``2`` porque la primera columna tiene la variable categórica de la
DIAN.

Para ingresar los nombres de las variables de forma automática se usa la
función ``paste()``, con la cual podemos indicar una función y arrojará
el resultado como una etiqueta.

Con los Boxplot podemos identificar los datos atípicos por cada variable
y asimetrías.

.. code:: r

    for(i in 2:9){
        print(ggplot(data = datos) +
                    geom_boxplot(aes(x = datos[, i])) +
                    coord_flip() +
                    labs(title = "Encuesta nacional manufacturera",
                        subtitle = paste(names(datos)[i]),
                        x = "Frecuencia absoluta"))
    }



.. image:: output_20_0.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_20_1.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_20_2.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_20_3.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_20_4.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_20_5.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_20_6.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_20_7.png
   :width: 420px
   :height: 420px


Histograma con kernel:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Función de densidad Kernel:

.. math::  \hat{f_h} (x) = \frac{1}{nh} \sum {K \frac{x-x_i}{h}} 

Donde :math:`K` es la función Kernel.

Para el Kernel Gaussiano :math:`K` es:

.. math::  K(u) = \frac{1}{2 \pi}exp^{-\frac{u^2}{2}} 

:math:`h` es el ancho de banda. Entre más pequeño es :math:`h`, mayor es
el sobre ajuste y la curve es menos suavizada. En ``ggplot2`` la
densidad Kernel se hace con ``stat_density(kernel = "gaussian")``. Para
cambiar :math:`h` se agrega el argumento ``adjust =``, por defecto es
``adjust = 1``.

Las asimetrías se observan más fácilmente en los histogramas. También,
podemos identificar si los datos atípicos tienen alta o baja frecuencia.

.. code:: r

    for(i in 2:9){
        print(ggplot(data = datos) + aes(x = datos[, i]) +
                    geom_histogram(aes(y = ..density..),
                                   bins = 30, 
                                   fill = "#F0FFFF", color = "black") +
                    stat_density(kernel = "gaussian", fill = "#707070", alpha = 0.5) +
                    theme_minimal() +
                    labs(title = "Encuesta nacional manufacturera",
                        subtitle = paste(names(datos)[i]),
                        y = "Frecuencia absoluta",
                        x = paste(names(datos)[i])))
    }



.. image:: output_24_0.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_24_1.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_24_2.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_24_3.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_24_4.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_24_5.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_24_6.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_24_7.png
   :width: 420px
   :height: 420px


Matríz de dispersión:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

La base de ``R`` tiene la función ``pairs()`` para construir matrices de
dispersión.

Recuerde que las variables cuantitativas están desde la columna 2 hasta
la 9.

.. code:: r

    pairs(datos[, 2:9])



.. image:: output_27_0.png
   :width: 420px
   :height: 420px


El paquete ``GGally`` es una extensión de ``ggplot2`` y se usa para
crear la matríz de dispersión con la función ``ggpairs()``.

``GGally`` funciona en versiones superiores de 3.1 en ``R`` y versiones
superiores de 3.3.4 en ``ggplot2``.

``packageVersion("ggplot2")``

``R.version``

Después, instalar el paquete así: ``install.packages("GGally")``

.. code:: r

    library(GGally)


.. parsed-literal::

    Registered S3 method overwritten by 'GGally':
      method from   
      +.gg   ggplot2
    
    

.. code:: r

    ggpairs(datos[,2:9])



.. image:: output_30_0.png
   :width: 420px
   :height: 420px


Matríz de correlaciones:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

La base de ``R`` tiene la función ``cor()`` para construir la matríz de
correlación

.. code:: r

    cor(datos[,2:9])



.. raw:: html

    <table class="dataframe">
    <caption>A matrix: 8 × 8 of type dbl</caption>
    <thead>
    	<tr><th></th><th scope=col>personal_mujer</th><th scope=col>personal_hombre</th><th scope=col>gasto_personal</th><th scope=col>gasto_financiero</th><th scope=col>costos_gastos_produccion</th><th scope=col>gastos_adm_ventas</th><th scope=col>inversion_AF</th><th scope=col>ventas</th></tr>
    </thead>
    <tbody>
    	<tr><th scope=row>personal_mujer</th><td>1.00000000</td><td>0.45918261</td><td>0.5114733</td><td>0.05951392</td><td>0.1815275</td><td>0.0625563</td><td>0.04607581</td><td>0.05007149</td></tr>
    	<tr><th scope=row>personal_hombre</th><td>0.45918261</td><td>1.00000000</td><td>0.8495829</td><td>0.07267965</td><td>0.3534615</td><td>0.2558384</td><td>0.09931522</td><td>0.32545296</td></tr>
    	<tr><th scope=row>gasto_personal</th><td>0.51147327</td><td>0.84958291</td><td>1.0000000</td><td>0.16354049</td><td>0.6056747</td><td>0.4755711</td><td>0.12504179</td><td>0.53904261</td></tr>
    	<tr><th scope=row>gasto_financiero</th><td>0.05951392</td><td>0.07267965</td><td>0.1635405</td><td>1.00000000</td><td>0.1753652</td><td>0.1062969</td><td>0.08373504</td><td>0.08489441</td></tr>
    	<tr><th scope=row>costos_gastos_produccion</th><td>0.18152747</td><td>0.35346147</td><td>0.6056747</td><td>0.17536517</td><td>1.0000000</td><td>0.7237423</td><td>0.18938634</td><td>0.76599555</td></tr>
    	<tr><th scope=row>gastos_adm_ventas</th><td>0.06255630</td><td>0.25583836</td><td>0.4755711</td><td>0.10629691</td><td>0.7237423</td><td>1.0000000</td><td>0.13218655</td><td>0.97091339</td></tr>
    	<tr><th scope=row>inversion_AF</th><td>0.04607581</td><td>0.09931522</td><td>0.1250418</td><td>0.08373504</td><td>0.1893863</td><td>0.1321865</td><td>1.00000000</td><td>0.14171846</td></tr>
    	<tr><th scope=row>ventas</th><td>0.05007149</td><td>0.32545296</td><td>0.5390426</td><td>0.08489441</td><td>0.7659955</td><td>0.9709134</td><td>0.14171846</td><td>1.00000000</td></tr>
    </tbody>
    </table>
    


Con el paquete ``GGally`` se puede crear una matríz de correlaciones
aplicando la función ``ggcorr()``

.. code:: r

    ggcorr(datos[,2:9])



.. image:: output_35_0.png
   :width: 420px
   :height: 420px


Usted puede buscar muchas formas para representar la matríz de
correlaciones. Veamos el siguiente ejemplo:

Función ``corrplot()`` de la librería con el mismo nombre.

``install.packages("corrplot")``

.. code:: r

    library("corrplot")


.. parsed-literal::

    corrplot 0.92 loaded
    
    

Primero se crea la matríz de correlaciones con la función de la base de
R llamada ``cor()``.

.. code:: r

    correlaciones <- cor(datos[,2:9])
    
    corrplot(correlaciones, method="circle")
     
    corrplot(correlaciones, method="pie")
     
    corrplot(correlaciones, method="color")
     
    corrplot(correlaciones, method="number")



.. image:: output_39_0.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_39_1.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_39_2.png
   :width: 420px
   :height: 420px



.. image:: output_39_3.png
   :width: 420px
   :height: 420px